Ein Massenpunkt m wird zum Zeitpunkt t=0 unter einem Winkel α zur positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit v0 abgeworfen.
Der Einfluss des Luftwiderstandes sei zu vernachlässigen.
- Wie lauten die Bewegungsgleichungen?
- Wie ergeben sich Wurfdauer, Wurfweite und maximale Wurfhöhe?
- Wie lautet die Gleichung der Wurfbahn?
- Unter welchem Abwurfwinkel α erhalten wir die grösste Wurfweite?
Aus den Bedingungen des Kräftegleichgewichts erhalten wir mit der Annahme, dass die Beschleunigungen in positive Achsrichtungen zeigen (die Trägheitskräfte sind demzufolge entgegengesetzt anzutragen)
(3.4)∑ F
y ≡ −m·y
•• − mg = 0
Die Geschwindigkeitsverhältnisse erhalten wir nach Elimination von m durch Integration
x• = C1
y• = −g·t + C2
Die Anfangsbedingungen liefern uns unmittelbar die Integrationskonstanten
x•(t=0) = v0·cos α = C1
y•(t=0) = v0·sin α = C2
und damit die Geschwindigkeitsverhältnisse
(3.6)y
•(t) = −g·t + v
0·sin α
An die Position des Massenpunktes gelangen wir durch nochmalige Integration
x(t) = v0·t·cos α + C3
y(t) = − 12·g·t2 + v0·t·sin α + C4
Die Anfangsbedingungen x(t=0) = 0 und y(t=0) = 0 liefern C3 = C4 = 0 und damit für die Position des Punktes in Abhängigkeit von der Zeit
(3.8)y(t) = v
0·t·sin α −
12·g·t
2
Die Wurfdauer erhalten wir aus der "Aufschlag"bedingung y = 0, also
t·(v0·sin α − 12·g·t) = 0
Neben der trivialen Lösung t = 0 erhalten wir als eigentliche Wurfdauer
tWurf = 2v0g·sin α
Die Wurfweite ermitteln wir durch Einsetzen der Wurfdauer in x(t).
(3.9)x
Wurf = 2·
v20g·sinα·cosα =
v20g·sin2α
Den Zeitpunkt der maximale Wurfhöhe erhalten wir über den Extremwert von y(t) bzw. aus der Nullstelle von y•(t),
tScheitel = v0g·sin α
was erwartungsgemäß in der halben Wurfdauer resultiert. Einsetzen in y(t) führt uns schließlich zu
ymax = v20·sin2α2g
Die Wurfbahn resultiert durch Eliminieren der Zeit t aus den Gln. (3.7) und (3.8)
y = x·tanα − g2 v20·cos2 α·x2
als Gleichung 2. Grades (Parabel).
Die grösste Wurfweite erhalten wir aus der Beziehung (3.9), deren Wert für α = 45° maximal wird.