Aufgabe:
Eine Kugel liegt in einem Rohr, welches rotiert. (Die Erdbeschleunigung wird hierbei vernachlässigt.)
Gegeben:
- r0 = 10 cm
- r1 = 50 cm
- n = 5 s−1
- m = 50g
Gesucht:
- Der Winkel Φ, nach dem die Kugel das Rohr verlässt.
- Die Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) mit welcher die Kugel das Rohr verlässt
- Das Moment M, welches an der Drehachse des Rohres notwendig ist um diese Bewegung hervorzurufen
Lösung:
Es gilt:
(1)a = (r
··−r·φ
·2)·e
→r+(r·φ
··+2r
··φ
·)·e
←r
Gleichgewichtsbedingung in radialer Richtung:
∑≡−ar·m=0
Mit Gleichung (1) folgt daraus die lineare, homogene Differentialgleichung
Diese wir gelöst durch eine Funktion der Form r(t)=A·eω t:
- r(t)=A·eω t
- r·(t)=A·ω·eω t
- r··(t)=A·ω2·eω t
Überprüfung durch Einsetzen:
A·ω2·eω t − A·eω t·φ·2=0 wird mit φ·≡ω2 zu
A·ω2·eω t=A·ω2·eω t -> Gleichung erfüllt!
Mit der Anfangsbedingung r(t0=0)=r0 ergibt sich für A:
r(0)=A·eω 0=r0
⇒ A=r0
Die Bewegungsgleichungen in radialer Richtung sind somit:
- r(t)=r0·eω t
- v(t)=r0·ω·eω t
- a(t)=r0·ω2·eω t